Eine Verformung in dem Sinne der Topologie heißt Homöomorphismus. Dazu gehört das Dehnen, Stauchen, Verbiegen, Verzerren, Verdrillen eines Gegenstands; das Zerschneiden aber nur, wenn man ihn später an exakt der Schnittfläche wieder zusammenklebt. Zu dem Beispiel haben eine Kugel und ein Glas dieselbe Topologie; sie sind homöomorph. Ebenso sind ein Torus und eine einhenkelige Tasse homöomorph.

Der axiomatische Aufbau der modernen Topologie beruht auf dem grundlegenen Konzept der "Nachbarschaft", formalisiert als offene Umgebung. Neben offen und abgeschlossen gibt es als weitere fundamentale topologische Attribute stetig, kompakt, separabel, zusammenhängend, dicht, abzählbar. Neben der Algebra kann die Topologie als zweiter Stützpfeiler für alle anderen Felder der Mathematik angesehen werden; sie ist besonders wichtig für die Geometrie, die Analysis (Maß- und Integrationstheorie ), die Funktionalanalysis, die Theorie der Lie-Gruppen, die Graphentheorie usw.

Untergebiete der Topologie sind die algebraische Topologie, die Differentialtopologie .

Die Lösung des Sieben-Brücken-Problems von Königsberg durch Leonhard Euler in dem Jahr 1736 gilt als die erste topologische und zugleich als die erste graphentheoretische Arbeit in der Geschichte der Mathematik.

Maurice Fréchet führte 1906 den metrischen Raum ein.

Georg Cantor beschäftigte sich mit den Merkmalen offener und geschlossener Intervalle, behandelte Grenzprozesse, und begründete dabei zugleich die moderne Topologie und die Mengentheorie. Die Topologie ist der erste Zweig der Mathematik, der konsequent mengentheoretisch formuliert wurde - und gab dabei umgekehrt den Anstoß zur Ausformung der Mengentheorie.

Felix Hausdorff prägte 1914 den Begriff "topologischer Raum" und definierte den heute so genannten Hausdorff-Raum. Die heutige Definition eines topologischen Raums wurde 1922 von Kazimierz Kuratowski eingeführt.

Die Topologie formalisiert den Begriff der "Nähe" (besser: Umgebung. Oder: infinitesimale Nähe).

Als Beispiel betrachte man z.B. die Menge der ganzen Zahlen und die der rationalen Zahlen . Da es bijektive Abbildungen zwischen und gibt, sind sie als Mengen ununterscheidbar. Aber die topologische Struktur sieht für beide Objekte anders aus: In liegen alle Punkte diskret, d.h. in dem Gegensatz zu gibt es um jeden Punkt eine kleine Umgebung, in der kein weiterer Punkt liegt. Natürlich kann man die ganzen und die rationalen Zahlen auch durch ihre algebraische Struktur unterscheiden.

In unserem Beispiel kann man für je zwei Punkte aus oder den Abstand angeben. Eine Umgebung eines Punktes p besteht mindestens aus all den Punkten, deren Abstand zu p kleiner als eine Zahl c ist. Auf den ganzen Zahlen gibt es also kleine Umgebungen, die keinen weiteren Punkt enthalten, während für die rationalen Zahlen jede Umgebung eines Punktes unendlich viele weitere Elemente aus enthält, unabhängig davon, wie klein die Zahl c und damit die Umgebung gewählt wird.

Während die beiden obigen Beispiele den Begriff des Abstandes benutzen, besteht die Leistung der (mengentheoretischen) Topologie darin, das Konzept der Nähe auf den Kern reduziert zu haben.

Dies gelingt, indem man statt der Abstandsfunktion ca. noch die Menge aller Umgebungen betrachtet (bzw. in einer beliebigen Menge M zu jedem Punkt einen Satz von Teilmengen auswählt, die man als die Umgebungen dieses Punktes definiert). Man findet so viele Beispiele von topologischen Räumen, auf denen es nicht mehr möglich ist, den Abstand zwischen den Punkten anzugeben.

Es gibt zwei Gründe, die für die Betrachtung dieser Struktur sprechen: Zunächst gibt es natürliche Beispiele von Räumen, auf denen keine Abstandsfunktion definiert werden kann (z.B. manche Quotientenräume ). Andererseits ist man häufig nicht an dem konkreten Abstand interessiert: Man stelle sich einen Körper in dem vor, den man ausbeult und verformt (ohne ihn aber zu zerreißen). Der Abstand zweier Punkte in diesem Objekt hat sich geändert, aber wichtige Grund Merkmale sind geblieben, z.B. kann man zwei Punkte, die man vor der Verformung verbinden konnte, auch zusätzlich verbinden, oder ein Punkt in dem Innern des Körpers bleibt in dem Innern.

Nicht jede Abbildung zwischen topologischen Räumen ist verträglich mit der zusätzlichen Struktur (z.B. gibt es bijektive Abbildungen zwischen den ganzen und den rationalen Zahlen, aber die beiden Räume sehen ganz verschieden aus). Eine Abbildung ist in diesem Sinne gutartig und wird stetig genannt, "wenn sie die Nähe erhält". Eine Funktion , die auf 0 und 0 auf 1 abbildet, ist z.B. nicht stetig, denn Zahlen, die "in der Nähe von 0 liegen", werden "weit weg" von f(0) abgebildet.

Die mengentheoretische Topologie erlaubt die Konstruktion von sehr vielen Pathologien. Dies macht sie in der größten Allgemeinheit zu einem relativ fruchtlosen Gebiet. Topologen beschäftigen sich darum mit spezielleren Räumen, z.B. Mannigfaltigkeiten oder CW-Komplexen.=== Literatur ===

• N. Bourbaki: Topologie générale, Hermann (1961).
• H. Herrlich: Topologie I: Topologische Räume, Heldermann (1986).
• H. Schubert: Topologie, Teubner, Stuttgart 1964, ISBN 3519122006
• Allen Hatcher: Algebraic Topology (http://www.math.cornell.edu/~hatcher/AT/ATpage.html). Cambridge University Press 2 Tausend ISBN 0-521-79540-0

• Math Atlas Artikel (http://www.math.niu.edu/~rusin/known-math/index/54-XX.html)
• Geschichtlicher Ãœberblick (engl.) (http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/HistTopics/Topology_in_mathematics.html)
• http://www.math.ethz.ch/~feichtne/topology/program.html
• http://servix.mathematik.uni-stuttgart.de/~stroppel/leitfadenTop.shtml
• http://www.topologie.net